Здесь я опишу наглядно классический способ приведения системы уравнений
$$\begin{cases} \begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+a_{14}x_{4}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\
a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}+a_{i4}x_{i}+...+a_{in}x_{n}=b_{i}\\
\cdots
\end{array}\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}
\end{array} & \ (0)\end{cases}$$
к треугольному виду. Это не общий способ, но именно его обычно рассказывают на лекциях по численным методам.
$$\begin{cases}
\begin{array}{c}
{\color{blue}x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\
a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}+a_{i4}x_{i}+...+a_{in}x_{n}=b_{i}\\
\cdots
\end{array}\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}
\end{array} & \ (1.1)\end{cases}
$$
Умножим первое уравнение на $a_{i1}$
$$\begin{cases}
\begin{array}{c}
{\color{blue}a_{i1}x_{1}+a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+a_{i1}\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\
a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}+a_{i4}x_{i}+...+a_{in}x_{n}=b_{i}\\
\cdots
\end{array}\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}
\end{array} & \ (1.2)\end{cases}
$$
и вычтем его из $i$ -го уравнения преобразованной системы:
$$
\begin{cases}
\begin{array}{c}
a_{i1}x_{1}+a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+a_{i1}\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\
a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
{\color{blue}\left(a_{i1}-a_{i1}\right)x_{1}+\left(a_{i2}-a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}\right)x_{2}+\left(a_{i4}-a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}\right)x_{i}+...+\left(a_{in}-a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}\right)x_{n}=\left(b_{i}-a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\right)}\\
\cdots
\end{array}\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}
\end{array} & (1.3)\end{cases}
$$
(немножко преобразуем)
$$
\begin{cases}
\begin{array}{c}
a_{i1}x_{1}+a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+a_{i1}\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\
a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
{\color{blue}\left(a_{i2}-a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}\right)x_{2}+\left(a_{i4}-a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}\right)x_{i}+...+\left(a_{in}-a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}\right)x_{n}=\left(b_{i}-a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\right)}\\
\cdots
\end{array}\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}
\end{array} & (1.4)\end{cases}
$$
обозначим $\left(a_{i2}-a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}\right)$ за $a_{i2}^{(1)}$ , $\left(a_{i3}-a_{i1}\cfrac{a_{13}}{a_{11}}\right)$ за $a_{i3}^{(1)}$ и так далее. Крато это записывается так: $a_{ij}^{(1)}=a_{ij}-a_{i1}\cfrac{a_{1j}}{a_{11}}$ , $i=\overline{2,\, n}$. Так же поступим с $\left(b_{i}-a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\right)$, обозначив его за $b_{i}^{(1)}$. И вернем уравнение 1 в предыдущее состояние, чтобы не таскать за собой множитель $a_{i1}$, который мозолит глаза.
Получим систему:
$$\begin{cases}
\begin{array}{c}
{\color{blue}x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\
a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
{\color{blue}0+a_{i2}^{(1)}x_{2}+a_{i3}^{(1)}x_{3}+a_{i4}^{(1)}x_{i}+...+a_{in}^{(1)}x_{n}=b_{i}^{(1)}}\\
\cdots
\end{array}\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}
\end{array} & (1.5)\end{cases}
$$
Теперь распространим все, что мы сделали для $i$ -го уравнения на $p$ уравнений, где $p=\overline{2,\, n}$.
$$
\begin{cases}
\begin{array}{c}
x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\
{\color{blue}0+a_{22}^{(1)}x_{2}+a_{23}^{(1)}x_{3}+a_{24}^{(1)}x_{4}+...+a_{2n}^{(1)}x_{n}=b_{2}^{(1)}}\\
{\color{blue}0+a_{32}^{(1)}x_{2}+a_{33}^{(1)}x_{3}+a_{34}^{(1)}x_{4}+...+a_{3n}^{(1)}x_{n}=b_{3}^{(1)}}\\
{\color{blue}0+a_{42}^{(1)}x_{2}+a_{43}^{(1)}x_{3}+a_{44}^{(1)}x_{4}+...+a_{4n}^{(1)}x_{n}=b_{4}^{(1)}}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
0+a_{i2}^{(1)}x_{2}+a_{i3}^{(1)}x_{3}+a_{i4}^{(1)}x_{i}+...+a_{in}^{(1)}x_{n}=b_{i}^{(1)}\\
\cdots
\end{array}\\
{\color{blue}0+a_{n2}^{(1)}x_{2}+a_{n3}^{(1)}x_{3}+a_{n4}^{(1)}x_{4}+...+a_{nn}^{(1)}x_{n}=b_{n}^{(1)}}
\end{array} & (1.6)\end{cases}
$$
На втором шаге из системы (1.5) исключается $x_{2}$ аналогичным образом.
$$
\begin{cases}
\begin{array}{c}
x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\
0+a_{22}^{(1)}x_{2}+a_{23}^{(1)}x_{3}+a_{24}^{(1)}x_{4}+...+a_{2n}^{(1)}x_{n}=b_{2}^{(1)}\\
0+a_{32}^{(1)}x_{2}+a_{33}^{(1)}x_{3}+a_{34}^{(1)}x_{4}+...+a_{3n}^{(1)}x_{n}=b_{3}^{(1)}\\
0+a_{42}^{(1)}x_{2}+a_{43}^{(1)}x_{3}+a_{44}^{(1)}x_{4}+...+a_{4n}^{(1)}x_{n}=b_{4}^{(1)}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
0+a_{i2}^{(1)}x_{2}+a_{i3}^{(1)}x_{3}+a_{i4}^{(1)}x_{i}+...+a_{in}^{(1)}x_{n}=b_{i}^{(1)}\\
\cdots
\end{array}\\
0+a_{n2}^{(1)}x_{2}+a_{n3}^{(1)}x_{3}+a_{n4}^{(1)}x_{4}+...+a_{nn}^{(1)}x_{n}=b_{n}^{(1)}
\end{array} & (2.0)\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
\begin{array}{c}
x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\
0+x_{2}+\cfrac{a_{23}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}x_{3}+\cfrac{a_{24}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}x_{4}+...+\cfrac{a_{2n}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}x_{n}=\cfrac{b_{2}}{a_{22}^{(1)}}\\
0+0+a_{33}^{(2)}x_{3}+a_{34}^{(2)}x_{4}+...+a_{3n}^{(2)}x_{n}=b_{3}^{(2)}\\
0+0+a_{43}^{(2)}x_{3}+a_{44}^{(2)}x_{4}+...+a_{4n}^{(2)}x_{n}=b_{4}^{(2)}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
0+0+a_{i3}^{(2)}x_{3}+a_{i4}^{(2)}x_{i}+...+a_{in}^{(2)}x_{n}=b_{i}^{(2)}\\
\cdots
\end{array}\\
0+0+a_{n3}^{(2)}x_{3}+a_{n4}^{(2)}x_{4}+...+a_{nn}^{(2)}x_{n}=b_{n}^{(2)}
\end{array} & (2.1)\end{cases}
$$
$$
a_{ij}^{(2)}=a_{ij}^{(1)}-a_{i2}^{(1)}\cfrac{a_{2j}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}},\ b_{i}^{(2)}=b_{i}^{(1)}-a_{i2}^{(1)}\cfrac{b^{2}}{a_{22}^{(1)}};\ i,j=\overline{3,n}
$$
И так, пока не придем к последнему уравнению. Итак, в общих чертах:
1. Выбираем первое уравнение и делим его на $a_{11}$
$$\begin{cases} \begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+a_{14}x_{4}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\
a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}+a_{i4}x_{i}+...+a_{in}x_{n}=b_{i}\\
\cdots
\end{array}\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}
\end{array} & \ (0)\end{cases}$$
к треугольному виду. Это не общий способ, но именно его обычно рассказывают на лекциях по численным методам.
Первый шаг
Полагаем, что $a_{11}\neq0$ и разделим на него первое уравнение. Перепишем систему с учетом этого преобразования.$$\begin{cases}
\begin{array}{c}
{\color{blue}x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\
a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}+a_{i4}x_{i}+...+a_{in}x_{n}=b_{i}\\
\cdots
\end{array}\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}
\end{array} & \ (1.1)\end{cases}
$$
Умножим первое уравнение на $a_{i1}$
$$\begin{cases}
\begin{array}{c}
{\color{blue}a_{i1}x_{1}+a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+a_{i1}\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\
a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}+a_{i4}x_{i}+...+a_{in}x_{n}=b_{i}\\
\cdots
\end{array}\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}
\end{array} & \ (1.2)\end{cases}
$$
и вычтем его из $i$ -го уравнения преобразованной системы:
$$
\begin{cases}
\begin{array}{c}
a_{i1}x_{1}+a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+a_{i1}\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\
a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
{\color{blue}\left(a_{i1}-a_{i1}\right)x_{1}+\left(a_{i2}-a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}\right)x_{2}+\left(a_{i4}-a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}\right)x_{i}+...+\left(a_{in}-a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}\right)x_{n}=\left(b_{i}-a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\right)}\\
\cdots
\end{array}\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}
\end{array} & (1.3)\end{cases}
$$
(немножко преобразуем)
$$
\begin{cases}
\begin{array}{c}
a_{i1}x_{1}+a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+a_{i1}\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\
a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
{\color{blue}\left(a_{i2}-a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}\right)x_{2}+\left(a_{i4}-a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}\right)x_{i}+...+\left(a_{in}-a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}\right)x_{n}=\left(b_{i}-a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\right)}\\
\cdots
\end{array}\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}
\end{array} & (1.4)\end{cases}
$$
обозначим $\left(a_{i2}-a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}\right)$ за $a_{i2}^{(1)}$ , $\left(a_{i3}-a_{i1}\cfrac{a_{13}}{a_{11}}\right)$ за $a_{i3}^{(1)}$ и так далее. Крато это записывается так: $a_{ij}^{(1)}=a_{ij}-a_{i1}\cfrac{a_{1j}}{a_{11}}$ , $i=\overline{2,\, n}$. Так же поступим с $\left(b_{i}-a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\right)$, обозначив его за $b_{i}^{(1)}$. И вернем уравнение 1 в предыдущее состояние, чтобы не таскать за собой множитель $a_{i1}$, который мозолит глаза.
Получим систему:
$$\begin{cases}
\begin{array}{c}
{\color{blue}x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\
a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
{\color{blue}0+a_{i2}^{(1)}x_{2}+a_{i3}^{(1)}x_{3}+a_{i4}^{(1)}x_{i}+...+a_{in}^{(1)}x_{n}=b_{i}^{(1)}}\\
\cdots
\end{array}\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}
\end{array} & (1.5)\end{cases}
$$
Теперь распространим все, что мы сделали для $i$ -го уравнения на $p$ уравнений, где $p=\overline{2,\, n}$.
$$
\begin{cases}
\begin{array}{c}
x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\
{\color{blue}0+a_{22}^{(1)}x_{2}+a_{23}^{(1)}x_{3}+a_{24}^{(1)}x_{4}+...+a_{2n}^{(1)}x_{n}=b_{2}^{(1)}}\\
{\color{blue}0+a_{32}^{(1)}x_{2}+a_{33}^{(1)}x_{3}+a_{34}^{(1)}x_{4}+...+a_{3n}^{(1)}x_{n}=b_{3}^{(1)}}\\
{\color{blue}0+a_{42}^{(1)}x_{2}+a_{43}^{(1)}x_{3}+a_{44}^{(1)}x_{4}+...+a_{4n}^{(1)}x_{n}=b_{4}^{(1)}}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
0+a_{i2}^{(1)}x_{2}+a_{i3}^{(1)}x_{3}+a_{i4}^{(1)}x_{i}+...+a_{in}^{(1)}x_{n}=b_{i}^{(1)}\\
\cdots
\end{array}\\
{\color{blue}0+a_{n2}^{(1)}x_{2}+a_{n3}^{(1)}x_{3}+a_{n4}^{(1)}x_{4}+...+a_{nn}^{(1)}x_{n}=b_{n}^{(1)}}
\end{array} & (1.6)\end{cases}
$$
Второй шаг
На втором шаге из системы (1.5) исключается $x_{2}$ аналогичным образом.
$$
\begin{cases}
\begin{array}{c}
x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\
0+a_{22}^{(1)}x_{2}+a_{23}^{(1)}x_{3}+a_{24}^{(1)}x_{4}+...+a_{2n}^{(1)}x_{n}=b_{2}^{(1)}\\
0+a_{32}^{(1)}x_{2}+a_{33}^{(1)}x_{3}+a_{34}^{(1)}x_{4}+...+a_{3n}^{(1)}x_{n}=b_{3}^{(1)}\\
0+a_{42}^{(1)}x_{2}+a_{43}^{(1)}x_{3}+a_{44}^{(1)}x_{4}+...+a_{4n}^{(1)}x_{n}=b_{4}^{(1)}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
0+a_{i2}^{(1)}x_{2}+a_{i3}^{(1)}x_{3}+a_{i4}^{(1)}x_{i}+...+a_{in}^{(1)}x_{n}=b_{i}^{(1)}\\
\cdots
\end{array}\\
0+a_{n2}^{(1)}x_{2}+a_{n3}^{(1)}x_{3}+a_{n4}^{(1)}x_{4}+...+a_{nn}^{(1)}x_{n}=b_{n}^{(1)}
\end{array} & (2.0)\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
\begin{array}{c}
x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\
0+x_{2}+\cfrac{a_{23}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}x_{3}+\cfrac{a_{24}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}x_{4}+...+\cfrac{a_{2n}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}x_{n}=\cfrac{b_{2}}{a_{22}^{(1)}}\\
0+0+a_{33}^{(2)}x_{3}+a_{34}^{(2)}x_{4}+...+a_{3n}^{(2)}x_{n}=b_{3}^{(2)}\\
0+0+a_{43}^{(2)}x_{3}+a_{44}^{(2)}x_{4}+...+a_{4n}^{(2)}x_{n}=b_{4}^{(2)}\\
\begin{array}{c}
\cdots\\
0+0+a_{i3}^{(2)}x_{3}+a_{i4}^{(2)}x_{i}+...+a_{in}^{(2)}x_{n}=b_{i}^{(2)}\\
\cdots
\end{array}\\
0+0+a_{n3}^{(2)}x_{3}+a_{n4}^{(2)}x_{4}+...+a_{nn}^{(2)}x_{n}=b_{n}^{(2)}
\end{array} & (2.1)\end{cases}
$$
$$
a_{ij}^{(2)}=a_{ij}^{(1)}-a_{i2}^{(1)}\cfrac{a_{2j}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}},\ b_{i}^{(2)}=b_{i}^{(1)}-a_{i2}^{(1)}\cfrac{b^{2}}{a_{22}^{(1)}};\ i,j=\overline{3,n}
$$
И так, пока не придем к последнему уравнению. Итак, в общих чертах:
1. Выбираем первое уравнение и делим его на $a_{11}$
- Выбираем второе уравнение. Копируем первое, умножаем копию на $a_{21}$ и вычитаем копию из второго.
- Повторяем предыдущий пункт для остальных уравнений.
2. Выбираем второе уравнение и делим его на $a_{22}$
- Выбираем третье уравнение. Копируем второе, умножаем копию на $a_{32}$ и вычитаем копию из второго.
- Повторяем предыдущий пункт для остальных уравнений.
3. Повторяем эти операции до окончания уравнений.
