Прямой ход Гаусса. Наглядная версия

Здесь я опишу наглядно классический способ приведения системы уравнений
$$\begin{cases} \begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+a_{14}x_{4}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\ a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\ \begin{array}{c} \cdots\\ a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}+a_{i4}x_{i}+...+a_{in}x_{n}=b_{i}\\ \cdots \end{array}\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{array} & \ (0)\end{cases}$$
к треугольному виду. Это не общий способ, но именно его обычно рассказывают на лекциях по численным методам.

Первый шаг

Полагаем, что $a_{11}\neq0$  и разделим на него первое уравнение. Перепишем систему с учетом этого преобразования.
$$\begin{cases} \begin{array}{c} {\color{blue}x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\ a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\ \begin{array}{c} \cdots\\ a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}+a_{i4}x_{i}+...+a_{in}x_{n}=b_{i}\\ \cdots \end{array}\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{array} & \ (1.1)\end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $a_{i1}$
$$\begin{cases} \begin{array}{c} {\color{blue}a_{i1}x_{1}+a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+a_{i1}\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\ a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\ \begin{array}{c} \cdots\\ a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}+a_{i4}x_{i}+...+a_{in}x_{n}=b_{i}\\ \cdots \end{array}\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{array} & \ (1.2)\end{cases}$$

и вычтем его из $i$ -го уравнения преобразованной системы:
$$\begin{cases} \begin{array}{c} a_{i1}x_{1}+a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+a_{i1}\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\ a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\ \begin{array}{c} \cdots\\ {\color{blue}\left(a_{i1}-a_{i1}\right)x_{1}+\left(a_{i2}-a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}\right)x_{2}+\left(a_{i4}-a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}\right)x_{i}+...+\left(a_{in}-a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}\right)x_{n}=\left(b_{i}-a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\right)}\\ \cdots \end{array}\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{array} & (1.3)\end{cases}$$
(немножко преобразуем)
$$\begin{cases} \begin{array}{c} a_{i1}x_{1}+a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+a_{i1}\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\ a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\ \begin{array}{c} \cdots\\ {\color{blue}\left(a_{i2}-a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}\right)x_{2}+\left(a_{i4}-a_{i1}\cfrac{a_{14}}{a_{11}}\right)x_{i}+...+\left(a_{in}-a_{i1}\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}\right)x_{n}=\left(b_{i}-a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\right)}\\ \cdots \end{array}\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{array} & (1.4)\end{cases}$$

обозначим $\left(a_{i2}-a_{i1}\cfrac{a_{12}}{a_{11}}\right)$  за $a_{i2}^{(1)}$  , $\left(a_{i3}-a_{i1}\cfrac{a_{13}}{a_{11}}\right)$   за $a_{i3}^{(1)}$  и так далее. Крато это записывается так: $a_{ij}^{(1)}=a_{ij}-a_{i1}\cfrac{a_{1j}}{a_{11}}$ , $i=\overline{2,\, n}$. Так же поступим с $\left(b_{i}-a_{i1}\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\right)$, обозначив его за $b_{i}^{(1)}$. И вернем уравнение 1 в предыдущее состояние, чтобы не таскать за собой множитель $a_{i1}$, который мозолит глаза.
Получим систему:
$$\begin{cases} \begin{array}{c} {\color{blue}x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}+...+a_{3n}x_{n}=b_{3}\\ a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}+...+a_{4n}x_{n}=b_{4}\\ \begin{array}{c} \cdots\\ {\color{blue}0+a_{i2}^{(1)}x_{2}+a_{i3}^{(1)}x_{3}+a_{i4}^{(1)}x_{i}+...+a_{in}^{(1)}x_{n}=b_{i}^{(1)}}\\ \cdots \end{array}\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+a_{n4}x_{4}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{array} & (1.5)\end{cases}$$

Теперь распространим все, что мы сделали для $i$ -го уравнения на $p$  уравнений, где $p=\overline{2,\, n}$.

$$\begin{cases} \begin{array}{c} x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\ {\color{blue}0+a_{22}^{(1)}x_{2}+a_{23}^{(1)}x_{3}+a_{24}^{(1)}x_{4}+...+a_{2n}^{(1)}x_{n}=b_{2}^{(1)}}\\ {\color{blue}0+a_{32}^{(1)}x_{2}+a_{33}^{(1)}x_{3}+a_{34}^{(1)}x_{4}+...+a_{3n}^{(1)}x_{n}=b_{3}^{(1)}}\\ {\color{blue}0+a_{42}^{(1)}x_{2}+a_{43}^{(1)}x_{3}+a_{44}^{(1)}x_{4}+...+a_{4n}^{(1)}x_{n}=b_{4}^{(1)}}\\ \begin{array}{c} \cdots\\ 0+a_{i2}^{(1)}x_{2}+a_{i3}^{(1)}x_{3}+a_{i4}^{(1)}x_{i}+...+a_{in}^{(1)}x_{n}=b_{i}^{(1)}\\ \cdots \end{array}\\ {\color{blue}0+a_{n2}^{(1)}x_{2}+a_{n3}^{(1)}x_{3}+a_{n4}^{(1)}x_{4}+...+a_{nn}^{(1)}x_{n}=b_{n}^{(1)}} \end{array} & (1.6)\end{cases}$$

Второй шаг

На втором шаге из системы (1.5) исключается $x_{2}$  аналогичным образом.
$$\begin{cases} \begin{array}{c} x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\ 0+a_{22}^{(1)}x_{2}+a_{23}^{(1)}x_{3}+a_{24}^{(1)}x_{4}+...+a_{2n}^{(1)}x_{n}=b_{2}^{(1)}\\ 0+a_{32}^{(1)}x_{2}+a_{33}^{(1)}x_{3}+a_{34}^{(1)}x_{4}+...+a_{3n}^{(1)}x_{n}=b_{3}^{(1)}\\ 0+a_{42}^{(1)}x_{2}+a_{43}^{(1)}x_{3}+a_{44}^{(1)}x_{4}+...+a_{4n}^{(1)}x_{n}=b_{4}^{(1)}\\ \begin{array}{c} \cdots\\ 0+a_{i2}^{(1)}x_{2}+a_{i3}^{(1)}x_{3}+a_{i4}^{(1)}x_{i}+...+a_{in}^{(1)}x_{n}=b_{i}^{(1)}\\ \cdots \end{array}\\ 0+a_{n2}^{(1)}x_{2}+a_{n3}^{(1)}x_{3}+a_{n4}^{(1)}x_{4}+...+a_{nn}^{(1)}x_{n}=b_{n}^{(1)} \end{array} & (2.0)\end{cases}$$
$$\begin{cases} \begin{array}{c} x_{1}+\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_{2}+\cfrac{a_{13}}{a_{11}}x_{3}+\cfrac{a_{14}}{a_{11}}x_{4}+...+\cfrac{a_{1n}}{a_{11}}x_{n}=\cfrac{b_{1}}{a_{11}}\\ 0+x_{2}+\cfrac{a_{23}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}x_{3}+\cfrac{a_{24}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}x_{4}+...+\cfrac{a_{2n}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}x_{n}=\cfrac{b_{2}}{a_{22}^{(1)}}\\ 0+0+a_{33}^{(2)}x_{3}+a_{34}^{(2)}x_{4}+...+a_{3n}^{(2)}x_{n}=b_{3}^{(2)}\\ 0+0+a_{43}^{(2)}x_{3}+a_{44}^{(2)}x_{4}+...+a_{4n}^{(2)}x_{n}=b_{4}^{(2)}\\ \begin{array}{c} \cdots\\ 0+0+a_{i3}^{(2)}x_{3}+a_{i4}^{(2)}x_{i}+...+a_{in}^{(2)}x_{n}=b_{i}^{(2)}\\ \cdots \end{array}\\ 0+0+a_{n3}^{(2)}x_{3}+a_{n4}^{(2)}x_{4}+...+a_{nn}^{(2)}x_{n}=b_{n}^{(2)} \end{array} & (2.1)\end{cases}$$
$$a_{ij}^{(2)}=a_{ij}^{(1)}-a_{i2}^{(1)}\cfrac{a_{2j}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}},\ b_{i}^{(2)}=b_{i}^{(1)}-a_{i2}^{(1)}\cfrac{b^{2}}{a_{22}^{(1)}};\ i,j=\overline{3,n}$$
И так, пока не придем к последнему уравнению. Итак, в общих чертах:

1. Выбираем первое уравнение и делим его на $a_{11}$

•  Выбираем второе уравнение. Копируем первое, умножаем копию на $a_{21}$  и вычитаем копию из второго.
•  Повторяем предыдущий пункт для остальных уравнений.

2. Выбираем второе уравнение и делим его на $a_{22}$

• Выбираем третье уравнение. Копируем второе, умножаем копию на $a_{32}$   и вычитаем копию из второго.
• Повторяем предыдущий пункт для остальных уравнений.

3. Повторяем эти операции до окончания уравнений.